EL MUNDO DE LAS CÓNICAS

Piensa en una naranja, un limón, o una fruta que tenga forma casi esférica. Si la cortamos con un cuchillo, la forma de la sección cortada es un círculo, porque la piel tiene forma de circunferencia. Si se hacen cortes transversales o longitudinales, se obtienen curvas que se asemejan a cónicas. Cuando un cono se corta con un plano, se forma una curva en la intersección de la superficie cónica y el plano. Estas curvas reciben el nombre de secciones cónicas o simplemente "cónicas". En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes formas de curvas.

Apolonio (ca. 262-200 a.C) de la Escuela de Alejandría y a quien se deben los nombres de parábola, hipérbola y elipse, dio una visión general de las secciones cónicas, al generar todas, variando la inclinación del plano que corta al cono con respecto del eje del mismo. En la naturaleza existen ejemplos que ilustran las formas cónicas como:


Las ondas en el agua (circunferencias), La forma de una hoja (elipse), La forma de un haz de luz (parábolas), la Trayectoria de planetas o cometas alrededor del sol (elipses), etc...

Una aplicación importante de la elipse es el descubrimiento de Kepler (1571-1630) uno de los hombres más extraños en la historia de la ciencia, le debemos el descubrimiento de las tres leyes planetarias que llevan su nombre. Las encontro después de años de búsquedas inútiles que lo llevaron primero a las leyes de la armonía musical, que él creyó que gobernaban el mivimiento de los planetas (de donde viene la frase "la música de las esferas). Resumiendo se tiene a continuacón las diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:


Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase ningúnn punto de las parábolas de la familia). 


La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.


Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior. El problema es cómo puede un líquido formar un espejo parabólico y por qué se quiere así. La respuesta es que si se tiene un contenedor giratorio de líquido, la superficie del mismo formaría un paraboloide perfecto, incluso si la superficie interior del contenedor tiene imperfecciones.

Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.


En el famoso Taj mahal, construido en el siglo XVII (1630-1652) en la India por el emperador Sah Yahan en honor de su esposa Mumtaz-i mahall, uno de los máximos logros de la arquitectura mogol, tiene una galería de los suspiros en donde anteriormente a la pareja en luna de miel se le colocaba en los respectivos focos, de tal forma que el novio murmuraba la frase: A la memoria de mi amada inmortal, la cual era solamente escuchada por su novia situada a una distancia de algo más de 15 m.

En diseñno artístico es común encuadrar retratos y fotograf´ıas en un marco con forma elíptica. La mayoría de los dispositivos usados para recortar figuras elípticas están basadas en las ecuaciones de la elipse como comentamos anteriormente. 

Una revolucionaria técnica médica introducida a mediados de la década pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucci´on. La mejor cura para un cálculo es un poco de cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80 % de piedras en el riñón y la uretra. Además el tiempo de recuperación es de 3 díıas en comparación con las dos semanas con la cirugía convencional, así como la tasa de mortalidad es del 0,01 % frente al 2 % del método tradicional.

APOLO XIII. El 11 de Abril de 1970 el cohete Saturno V impulsó desde Cabo Kennedy a la nave espacial Apolo XIII en su misión hacia la Luna. Alrededor de 56 horas después el tanque de oxígeno número 2 del módulo de servicio explotó, causando una sucesión de daños mecánicos y eléctricos, forzando el final adelantado de la misión. Cuando la explosión tuvo lugar, los astronautas James Lovell, John Swigert y Fred Haise estaban a 200.000 millas de la Tierra. Se necesitaba entonces organizar un plan para devolverlos sanos y salvos a casa. 

Las ideas principales del plan a seguir se basan en consideraciones del cálculo. Para ello debemos saber:

 

a) Si suponemos la Tierra esférica y con distribución de masa simétrica, situando el centro de la Tierra en el origen de un sistema de coordenadas tridimensional, la fuerza ejercida por la Tierra sobre una part´ıcula de masa unidad con vector de posición  del vector r es

Esta ley se aplica con bastante exactitud al caso en que la Tierra no se considera como un punto (pues el satélite espacial está próximo a ella).

 

b) Mediante esta ecuación se puede probar que una partícula recorre una órbita alrededor de la Tierra que consiste en una curva plana de ecuación en coordenadas polares

Ya sabemos que esta curva es una cónica de excentricidad e. Así pues, el problema consiste en elegir una órbita adecuada para regresar a la Tierra. La forma más fácil es la siguiente:

Observamos que las constantes p y e están dadas por

Estas fórmulas indican que la excentricidad de la trayectoria viene controlada por el valor de Vo. Así, por ejemplo, si estamos en alguna órbita, digamos círcular, podemos aumentar velocidad (encendiendo los motores) y situamos en una gran órbita elíptica. Con este tipo de maniobras podemos situarnos en diferentes órbitas y llegar a cualquier punto determinado.

Como comentario interesante, mencionare que el estanque de Arecibo ha sido utilizado por los científicos para tratar de detectar señales de radio de civilizaciones extraterrestres. Incluso un episodio de la serie televisiva “Expediente X” tuvo lugar supuestamente allí. Además la búsqueda de fuentes de señaales regulares de radio ha permitido a los astrofísicos descubrir los pulsares, remanentes de gigantescas explosiones de estrellas.

INTERESANTE SABER...!!

 

  • Existe una leyenda que dice que alrededor d 430 a.C. una plaga cayó sobre Atenas (Grecia). Zeus, en el oráculo de Delos, anunció que el sufrimiento de la población terminaría cuando construyesen un altar de doble tamaño del cubo que sostenía la estatura de Apolo. Aunque fallaron todos los intentos de duplicación del cubo utilizando regla y compás como instrumentos de dibujo, esto dio origen al estudio de las secciones cónicas.

 

  • Menecmo (ca. 350 a.C) es famoso por considerarse el primero en estudiar las cónicas como secciones de un cono. Al ocuparse del problema clásico de la duplicación del cubo o problema de Delos (construir un cubo de doble volumen de otro cubo dado), redujo el problema a la construcción de dos medias proporcionales entre 1 y 2, es decir, en hallar x e y tales que:

En general, consideró la construcción de medias proporcionales entre a y b, es decir, hallar x e y tales que:

y, por lo tanto, redujo el problema de la duplicación del cubo a hallar la intersección de las curvas (parábolas & hiperbolas)

 

  • Hasta el siglo XVII los cometas eran fenómenos astronómicos inexplicable, los cuales parecían no obedecer las leyes del sistema solar establecidas por Copérnico y Kepler. En 1704, el astrónomo inglés Edmundo Halley (1656-1742) trabajó sobre las órbitas de varios cometas. Los datos más completos eran sobre el cometa de 1682. Halley observó que la órbita de este cometa pasaba por las mismas regiones del cielo que los cometas de 1607, 1531 y 1456, por lo que dedujo que se trataba del mismo cometa, con una órbita elítica alrdedor del Sol, el cual aparecía cada 75 o 76 años. Por ello predijo el retorno de ese cometa en 1758, lo cual sucedió, y de allí que dicho cometa es conocido por su nombr:Cometa Halley.


OTRA FORMA DE COMPROBAR LA BELEZA DE LAS CÓNICAS:

MSc. Liyuan Suárez