Truco de matemáticas: grifos llenando un depósito y la Masa Reducida de los Astros

Existe un tipo de ejercicios matemáticos bastante típico que suele caer en los exámenes de secundaria o de la Enseñanza Obligatoria, y es el de averiguar cuánto tardarán varios grifos llenando un depósito, sabiendo lo que tardarían cada uno de ellos por separado. Este tipo de ejercicios, también suele plantearse en forma de "obreros" que realizan un trabajo, o de animales que devoran una determinada cantidad de alimento. Los profesores suelen enseñar a sus alumnos cómo plantear este tipo de problemas, cuyos datos deben obtenerse paso a paso, utilizando frecuentemente la "regla del 3". Pero una vez aprendido el planteamiento, hay una manera muy rápida de resolver estos problemas, y esa solución es muy similar al "problema de los dos cuerpos" que resolvió Newton al tratar de determinar el movimiento gravitatorio de dos astros cercanos. ¿Qué tienen que ver los grifos y las estrellas?

EL EJERCICIO TÍPICO:

 

El problema (a veces de examen) que suele ponerse a los alumnos, es parecido a éste: "Un grifo llena un depósito en 6 horas, en tanto que otro más grande, lo haría en sólo 3 horas. ¿Cuánto tardarían ambos grifos en llenar conjuntamente dicho depósito?". Otro del mismo estilo, podría plantearse de la siguiente manera: "Un obrero llamado Juan,  tarda en levantar un muro 3 horas más que otro llamado Luis. Si ese mismo muro lo construyeran entre los dos, tardarían sólo 2 horas. ¿Cuánto tardaría Juan en levantar él sólo dicho muro?" 

La mayoría de estos típicos problemas suelen tener relación con "la realización de un trabajo conjunto" entre dos sujetos (grifo u obrero), cuya suma de esfuerzos, implica hacer dicho trabajo en menos tiempo.

 

Antes de seguir explicando el ejercicio, expondré la sencilla fórmula con la que se resuelve:

Así que, antes de enredarnos en explicaciones y demostraciones matemáticas, si eres un joven estudiante que sabes que te va a caer un problema de "grifos" u "obreros" en el próximo examen, y no recuerdas cómo deben plantearse este tipo de ejercicios, apréndete esta fórmula de memoria, y tendrás garantizado el punto. Sustituir los valores correspondientes es sencillo. Donde pone "T" , debes poner (si lo conoces) el tiempo que tardan ambos grifos en llenar el depósito conjuntamente, funcionando los dos a la vez... o bien, el tiempo que tardan ambos obreros en levantar el muro trabajando entre los dos. Donde pone "A" , debes poner el tiempo que tarda uno solo de los grifos en llenar él sólo el depósito, y donde pone "B", pon el tiempo que tarda el otro grifo en llenar él sólo el depósito.

 

UN EJEMPLO PRÁCTICO:

 

Planteemos el siguiente problema: Juan es capaz de comerse un pastel en 6 minutos. Su hermano Luis, que es más glotón,  puede hacerlo en tan sólo 3 minutos. ¿Cuánto tardarían en comerse el mismo pastel entre los dos?

Respuesta: El tiempo Total (T) es igual al producto de los tiempos individuales (AxB = 6x3 =18), entre la suma de los tiempos individuales (A+B = 3+6 =9). Es decir, 18/9 = 2 minutos

Entre ambos podrían comerse el pastel en sólo 2 minutos

 

¿Y qué tiene que ver este tipo de problemas con los asuntos cósmicos? Lo vemos a continuación

EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS GRAVITANDO

 

Desde tiempos de Kepler, y aprovechando sus leyes del movimiento de los astros, la comunidad científica planteó un dilema que no tardó Newton en resolver geométricamente: ¿Cómo se comportan dos astros gravitando uno alrededor del otro, si conociéramos sus masas? ¿Existe alguna manera de calcular la posición de ambos cuerpos en cualquier momento dado? . La respuesta es SI: de manera muy sencilla, y con los correspondiente cálculos, se podía determinar que dos cuerpos orbitando uno alrededor del otro, se comportan igual que si los dos se fundieran en un único planeta o estrella y girasen sobre un punto intermedio conocido como "Baricentro" (el centro común de ambas masas). Para saber qué masa total debería tener esa hipotética estrella central fruto de la fusión de los dos astros, se introdujo un concepto conocido como "MASA REDUCIDA"

La masa reducida es un concepto que puede usarse en cualquier sistema de partículas u objetos sometidos a fuerzas de atracción mútuos: sirve para describir el movimiento de un sistema binario de estrellas gemelas, el de un par de "boleadoras" girando, o incluso, el de un electrón moviéndose alrededor del núcleo de un átomo.

Y ahora viene lo sorprendente: Resulta que la masa reducida se calcula multiplicando la masa de cada cuerpo, y dividiéndolo por la suma de ambos. ¿A que suena igual que el asunto de los grifos?

UNA COINCIDENCIA DE FÓRMULAS NADA CASUAL

 

A priori, parece que ambas fórmulas no guardan relación, a pesar de que sean idénticas. ¿Qué tienen que ver los movimientos de las estrellas, con los grifos que llenan una piscina? Pues bastante. En realidad, el problema es idéntico. Debemos darnos cuenta de que en el asunto de las estrellas, la masa de ambas influye en los movimientos de la otra y viceversa. Pero dicha influencia no es tan grande como la suma de ambas masas (de hecho, la Masa Reducida es menor que la Masa individual de cada cuerpo). Lo mismo sucede con los grifos: si uno sólo tarda una hora en llenar la piscina, entre ambos grifos no tardan la suma de los tiempos, sino bastante menos, ya que el caudal de ambos en conjunto, hace que el tiempo de llenado se reduzca de una manera proporcional: El tiempo total de llenado es inferior a cualquiera de los tiempos individuales de cada uno de los grifos 

 

El tiempo que tardan ambos astros en completar su órbita individual es idéntico, y comparando,  cuando los dos grifos trabajan al unísono llenando una piscina, el tiempo que han estado funcionando es el mismo, pues ambos empiezan a la vez y terminan su parte del trabajo simultáneamente. Sin embargo, uno de los grifos ha aportado mayor cantidad de agua, lo cuál corresponde con el hecho de que una de las estrellas aporta al conjunto una masa superior, lo que se traduce en una velocidad inferior, según la segunda y tercera ley de Kepler.  El resultado es que las dos estrellas contribuyen individualmente a formar un solo astro virtual, cuya masa conjunta (sus fuerzas y movimientos) se comporta como si fuera un único cuerpo más ligero, situado en el baricentro del plano orbital. Los tiempos orbitales también se acomodan a la misma proporción de "Tiempo orbital reducido", cuyo resultado es a su vez proporcional al producto de los tiempos individuales de cada astro, entre la suma de ambos.

 

En el siguiente video, el superprofe David plantea un sencillo ejercicio de obreros realizando un trabajo (que igualmente se puede aplicar a grifos llenando una piscina, o amigos comiéndose un pastel). Explica cómo se resuelve, usando acertadas combinaciones de reglas de 3. El ejercicio dice "Un obrero tarda 3 horas más que otro en hacer el mismo trabajo. Haciéndolo entre los dos, tardarían 2 horas. ¿Cuánto tardarían por separado?

 

Aunque David lo explica muy bien, y con el sistema tradicional de planteamiento, si os cae en un examen y no recordáis la lógica del panteamiento clásico, os propongo utilizar la fórmula del "Tiempo reducido" que hemos expresado al comienzo de este artículo: veréis que el resultado es idéntico.

 

Llamaremos T al tiempo que tardan los dos obreros conjuntamente, que en el problema es =2

El primer obrero "A", tarda 3 horas más que el "B" en hacer el trabajo él sólo... o sea, A=B+3

 

Ahora usaremos la fórmula del Tiempo reducido, sustituimos cada valor y operamos (Nota: la línea final se resuelve con una sencilla ecuación de 2º grado):

¿A que es muy rápido, sencillo y poco propenso a equívocos? De cualquier manera, aquí os enlazo el video de David, para que veáis el planteamiento tradicional de este problema

 


FÓRMULAS PARA MÁS DE DOS GRIFOS

 

Si el problema se plantea con 3 grifos, la fórmula que debe aplicarse es la siguiente:

Y si se trata de 4 grifos, la fórmula es esta otra:

 

 

 

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Comentarios: 4
  • #1

    rolex replica sale (sábado, 11 octubre 2014 06:01)

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  • #2

    juan francisco (viernes, 23 enero 2015 01:45)

    hla

  • #3

    amparo (domingo, 15 enero 2017 15:30)

    muchas gracias por enseñarnos de manera tan minuciiosa.

  • #4

    CANAL DE CIENCIAS (domingo, 15 enero 2017 19:31)

    Un placer, Amparo