Crisis en las matemáticas: 3ª parte, Godel

TERCERA CRISIS

Los "lógico-matemáticos" trataron de restaurar la certidumbre "absoluta" de las matemáticas reduciéndolas a la lógica. La lógica es el estudio de las reglas de razonamiento utilizadas para deducir conclusiones, pero la lógica sólo estudia la validez del proceso. Para la lógica es irrelevante que las conclusiones sean verdaderas o falsas, de todas maneras los valores de verdad (verdaderos o falso) que se asignan a un enuciado depende de la época, del lugar y de otras circunstancia. 

Enunciados como "el hombre viaja en el Espacio",   "la Tierra es plana", no tuvieron siempre el mismo valor. Los primeros en formular las leyes de la lógica  fueron los griegos;  Aristóteles (384-322 a.C)   consideraba cuatro     "enunciados  categóricos": A, E, I, O. Los siguientes digramas se deben al lógico ingles John venn (1880)

Tres de estos enunciados categóricos forman un razonamiento deductivo llamado silogismo; los dos primeros enunciados son las premisas, el último es la conclusión.

Este es el famoso ejemplo:

1) Todos los H son M

2) Todos los G son H

3) Conclusión: Todos los G son M.

Los hombres  son mortales, los griegos son hombres, por lo tanto, los griegos son mortales.

La influencia Arirtóteles fue poderosa y duradera, los lógicos de la Edad media tenían códigos para las distintas formas de silogismos:

(AAA, EAE, ...)pero el método era muy limitado y nunca progresaron

 

"5 es mayor que 3" , "5 es mayor que 8", son enunciados, se les puede asignar un valor de verdad y uno solo: Verdadro o Falso.

 

Preguntas, órdenes, no son enunciados.

 

Frases como: "la Mujer desnuda es hermosa" no son enunciados, no se puede decir si son verdaderos o falsos; hermoso es una idea subjetiva (salvo que se haya acordado de antemano que sea V o F).

 

"Fulano es Presidente de Venezuela", "x es mayor que 3", no son enunciados; "Fulano", "x", son variables; si se remplaza "Fulano" por Aristóteles y "x" por 5, se transforma en enunciados.

Con estas limitaciones y otras, indispensables para tener un sistema coherente, la lógica matemática y el formalismo matemático se desarrollaron hasta culminar en la famosa obra de Rusell y Whitehead Principia Mathematica.

La "certidumbre" de las matemáticas se volvía cada vez más evasiva hasta queKurt Godel (Checoslovaquia-E.U.A. 1906-1978) puso punto final a toda esperanza de obtener sistemas matemáticos riguross basados en el método axiomático. Su famoso teorema de 1931 establece que hay cuestiones en matemáticas que son "indecidibles"; es decir, que no se pueden ni demostrar ni refutar a partir de los axiomas. Es posible que el último teorema de Fermat sea de ese tipo

Paul J. Cohen (E.U.A. 1934) dio en 1963 un ejemplo de "indecidibilidad". demostró que la existencia de un "número" mayor que aleph-cero y menor que C era "indecidible" en base a los axiomas de la teoría de conjuntos. Por eso Paul J. Cohen obtuvo la medalla Fields en 1966.

El impacto del teorema de Godel fue grande y sigue promoviendo investigaciones cada vez más profundas y más esotéricas acerca de los fundamentaos de las matemáticas. Pero, por otro lado, siguen los pioneros de los que hablan Jean Dieudonné, creando e inventando matemáticas sin procuparse demasiado por la pureza y el rigor de sus deducciones, pero sí obteniendo resultados interesantes y útiles que mantienen a la matemática viva y activa.

En resumen, durante más de 2.000 años, la única geometría "verdadera" fue la de Euclides, hasta que se negó el quinto postulado y empezaron a surgir nuevas geometrías (Lebachevski, Gauss, Bolyai,...), a medidas del siglo XIX.

En lógica el proceso fue más lento, había que negar la ley aristotélica del "tercero excluido" según la cual para una proposición solo existen dos posibilidades: si una proposición "p" es verdadera, la negación de "p", "no p", es falsa. En 1921, Jan Lukasiewicz (Polonia, 1878-1956) presentó el siguiente ejemplo. La proposición "estaré en Caracas el mes próximo" no es ni verdadera ni  falsa; es "probable" o "neutral". Creó así la lógica "trivalente" por oposición a la lógica "bivalente" de Aristóteles.

Se crearon después muchas lógicas no-aristotélicas. Citaremos, por ejemplo, el sistema polivalente de Emil Post (E.U.A. 1897-1954), y los sitemas infinito-valentes tales como la lógica probabilista según la que se puede asignar un número real del intervalo cerrado 0 y 1 al valor de la verdad de cualquier proposición. En este tipo de lógica, que es "la lógica de las ciencias cuando estudian los fenómenos naturales", las implicaciones del tipo:

A implica B, sino que son del tipo

A implica B con probabilidad p.

 

"Los matemáticos no se han puesto nunca de acuerdo sobre la materia que estudian y, sin embargo, se supone que la matemática es la ciencia de las verdades eternas, absolutas e indiscutibles".

Henri Lebesgue (Francia 1875-1941)

 

"Durante veinticinco siglos, los matemáticos han venido corrigiendo sus errores y con ello han enriquecido, no empobrecido, su ciencia".

Nicolas Buourbaki (1939-1967)

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Comentarios: 1
  • #1

    replica chanel (martes, 30 diciembre 2014 09:04)

    y los sitemas infinito-valentes tales como la lógica probabilista según la que se puede asignar un número real del intervalo cerrado 0 y 1 al valor de la verdad de cualquier proposición. En este tipo de lógica, que es "la lógica de las ciencias cuando estudian los fenómenos naturales", las implicaciones del tipo