mié

18

dic

2013

Crisis en las matemáticas. 1ª parte, Euclides

PRIMERA CRISIS

El primer sistema axiomático-deductivo conocido es el libro de geometría llamado ELEMENTOS, escrito por Euclides. Karl Popper, un importante filósofo contemporáneo de la ciencia, lo llamó "la teoría deductiva más importantae influyente jamás construida". Euclides organizó el trabajo de todos los matemáticos que le habían precedido en una unidad bien estructurada, usando la lógica de Aristóteles y creando un modelo deductivo que por más de 2000 años se creyó perfecto e influenció la manera de pensar de la humanidad y también la enseñanza de las matemáticas en todas las escuelas del mundo. Pero no tardó en surgir un problema...

Este último aspecto nunca se cuestionó hasta que Jean Dieudonné, en 1946, lanzo su famoso grito de "¡Abajo Euclides!".Hoy se sabe que los axiomas en los que se basó Euclides no permiten demostrar ni siquiera su primer teorema; pero también es cierto que la idea de rigor en una demostración ha ido cambiando, influenciada por la evolución de la cultura matemática. Lo que más preocupó a los matemáticos después de Euclides (también hizo cavilar a Euclides y a otros matemáticos de la época) fue el quinto axioma, el axioma de las paralelas: "Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una y solo una paralela a la misma".

Euclides establece que existe sólo una recta que pasa al mismo tiempo por un punto y sea paralela a otra recta dada. Es el Quinto Postulado de los Elementos de Euclides y se publica siendo más teorema que axioma lo cuál se convierte en el enigma más apasionante de la historia de la geometría clásica hasta el siglo XIX cuando aparecen las Geometrías No-Euclideanas, gracias precisamente, a la resolución de esta paradoja.

Los axiomas tenían que ser verdades "evidentes" y éste no lo era. Generaciones enteras de matemáticos de todas las culturas trataron de "demostrar" ese axioma a partir de los otros axiomas y hacer de él un teorema.

Uno de los intentos más famosos e interesantes fue el de Gerolamo Saccheri(Italia 1677-1733) quien supuso falso el quinto axioma y trató de llegar a una contradicción. No llegó a ninguna, pero los resultados que obtuvo eran demasiado estrafalarios para su época y resolvió que eran contrarios a la naturaleza de la línea recta" y que por lo tanto, "Euclides quedabe disculpado de cualquier error". Saccheri no sabía que había demostrado una serie de teoremas que hoy son parte de las geometrías no euclideanas.

Muchos matemáticos, comprendiendo que las conclusiones de saccheri no eran contradictorias, siguiero tratando de resolver el problema. El primero en llegar a una solución fue Carl F. Gauss, quien el 8 de noviembre de 1824 escribió a un amigo: "Los teoremas de esta geometría parecen paradójicos y, para los no iniciados, absurdos; pero un análisis sereno y metódico revela que no contienen nada que no sea posible" En otra carta decía que probablemente nunca publicaría esos resultados porque "tenía el griterío de los beocios"

La doctrina dominante de la época era la del filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804), para quien el espacio era euclideo "a priori", no producto de la experiencia.

Pero la solución de este antiguo problema estaba a punto de ser encontrada: Janos Bolyai (Hungría, 1802-1860) y Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (Rusia, 1793-1856) llegaron a los mismos resultados que Gauss sin conocer su trabajo.

Bolyai llamó a su geometría "absoluta" (1832), lobachevsky llamó a la suya "imaginaria" (1829).

El nombre "Geometría no euclideana"  que prevalece hoy se debe a Gauss.

En los tres casos anteriores, el quinto axioma qudó: "Por un punto exterior a una recta dada,  se puede construir más de una paralela a la misma". 

En la característica de la "Geometría Hiperbólica". Pocos años después, en 1854,  Bernard Riemann (Alemania, 1826-1866) creó la "Geomería Elítica o Esférica" en la que "por un punto exterior a una recta dada, no se puede construir ninguna paralela a la misma". La geometría euclideana era ahora un caso especial entre estos dos tipos de geometría.

La superficie de la esfera constituye un ejemplo de geometría elíptica bidimensional. Sobre una esfera, la suma de los ángulos de untriángulo esférico no es igual a 180°. la superficie de una esfera no es un espacio euclideo, aunque localmente ambas geometrías se parecen mucho, para grandes distancias es dtectable la curvatura de la esfera. esto se refleja en que triángulos pequeños sobre la superficie de la esfera suman casi 90°, triángulos de mayor tamaño claramente suman más de 180°.

 

Estos descubrimientos trastornaron la manera de pensar de la comunidad matemática en el mundo entero y pasó mucho tiempo antes de que se aceptaran. Georg Cantor habló de la "ley de conservación de la ignorancia": "Cuando se llega a una conclusión falsa y está es aceptada extensamente, no es fácil renunciar a ella y, cuando menos se entienda, más tenazmente se conserva".

Max Planck (Alemania 1858-1947), el fundador de la mecánica cuántica, escribió: "Las nuevas verdades cientificas no triunfan convenciendo a sus oponentes y haciéndoles ver la luz, triunfan más bien porque fallecen los oponentes y la nueva generación se habitúa a las nuevas ideas".

La aparición de las geometrías no euclideanas planteó varias interrogantes como la siguientes.

  • ¿Cuál es el espacio físico en el que vivimos?

 

  • ¿Es el espacio euclideo, como se creía desde la época de Platón?

 

  • Y, si es un espacio no euclideo

 

  • ¿Cuál de ellos es?

La respuesta a esta pregunta es que la estructura geométrica de nuestro mundo no es homogénea. El macrouniverso parece explicarse mejor mediante la geometría hiperbólica, pero cuando se estudia a estructura molecular de la materia, la geometría elíptica parece dar una mejor aproximación. La geometría euclideana sigue siendo la más simple y es el mejor instrumento disponible para explicar el mundo que nos rodea (es la que se usa para llegar a la Luna) pero no para describir lo infinitamente pequeño ni lo infinitamente grande.

Al respecto escribe Henri Poincaré: "Que pensar de la pregunta ¿Es verdadera la geometría euclideana? La pregunta no tiene sentido; equivale a preguntar si el sistema métrico es verdadero y el antiguo sistema de pesas y medidas es falso; si las coordenadas coordenadas cartesianas son verdaderas y las polares son falsas.

"Una geometría no puede ser más verdadera que otra, solo puede ser más útil. Sin embargo, la geometría euclidiana es, y seguirá siendo la más útil. En primer lugar porque es la más simple y en segundo lugar porque concuerda con las propiedades de los cuerpos sólidos que comparamos y medimos con nuestro sentidos".

Otra consecuencia importante del descubrimiento de las geometrías no euclideanas fue que, gracias a ellas, se enjuició el origen de los axiomas y del método axiomático en general: Platón y los "platonistas" de hoy no aceptan el origen experimental de los axiomas, pretenden que son producto del "pensamiento puro" de la "intuición innata" o de la "contemplación de las formas a priori".

Esta doctrina afirma que las entidades abstractas, como son los números, los puntos y los conjuntos, existen independientemente de la mente humana; la mente las puede descubrir pero no las crea.

Otra escuela llamada "constructivismo" o "intuicionismo" solo acepta las entidades abstractas que la mente humana puede construir.

Después del descubrimiento de las geometrías no euclideanas, quedaba claro que los axiomas de la geometría euclidiana se habían originado en el mundo que nos rodea; también quedaba claro que un sistema axiomatico no tenía por qué estar relacionado con nuestro mundo real, podía ser un sistema abstracto, independiente de la influencia empírica de los sentidos y construido solo a partir de las reglas lógicas.

 

 

Esto inició una nueva corriente en matemáticas, llamada "matemática pura" que hace de las matemáticas una materia independiente, en la que los axiomas se eligen arbitrariamente, sin relación con el mundo físico.

Un interesante ejemplo de esta tendencia es el "modelo" de geometría no euclidiana descrito por Felix Klein (Alemania, 1849-1925) el cual presentare a continuación de una forma simplificada: 

Puesto que "punto", "recta" y "plano" son terminos primitivos (no se definen), podemos asignarles cualquier significado.

Se toma como "plano" el interior del círculo (como muestra la figura), "puntos" son los puntos interiores del círulo, "rectas" son las cuerdas del círculo. En la figura tenemos que P y Q son "puntos" de la "recta" g. U y V no son "puntos"  (no estan en el plano). En este sistema,  el quinto postulado no es válido: las "rectas" l y m que pasan por el "punto" R  no tienen  ningún "punto"  comun con la "recta" r; por lo tanto, ambas son paralelas a g. Los otros axiomas de la geometría euclidiana se verifican.

 

Este  ejemplo de matemática "pura" ha sido inspirado por los problemas "reales" de la geometría, pero la distinción entre matemática pura y aplicada no siempre es clara. Lo cierto es que las matemáticas se fueron transformando poco a poco en ciencia autónoma y empezaron a separarse cada vez más del mundo físico hasta transformarse en un sistema puramente formal, una especie de juego con sus símbolos y sus reglas que se deben seguir sin tener en cuenta si son útiles o no.

Resulta pertinente una comparación con el juego de ajedrez. Los "elementos primitivos" en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los "axiomas" son las descripciones de los movimientos de cada pieza, no son equivalentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así, y se aceptan sin discutir. Las reglas del juego explican lo que hace cuando ocurren determinadas cosas, constituyen la "lógica" del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez es verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas.

La tercera consecuencia importante de esta crisis en geometría fue buscar la "verdad" en otras partes de las matemáticas, en particular en la aritmética y el álgebra que, a mediados del siglos XIX, ya eran más importantes para las ciencias que la geometría.

Platón había dicho: "Dios geometriza";

 

 

Gustav J. Jacobi contesta: "Dios aritmetiza"

 

y Gauss afirma: "La verdad está en el número que es la base de la matemática, del álgebra, del cálculo infinitesimal y de otras ramas más altas del análisis".

 

Continúa....

Escribir comentario

Comentarios: 0