LAS ALUCINANTES ECUACIONES DE MAXWELL (1). Campos eléctricos y hormigas

James Clerk Maxwell fue sin duda, el eslabón que enlazó a Newton con Einstein. De entre toda su obra, destacan las alucinantes ecuaciones con las que describió las propiedades del campo electromagnético, que fueron los cimientos sobre los que se apoyaron las gigantescas torres de la física moderna, incluída la mecánica cuántica. Pero desgraciadamente, la complejidad de esas ecuaciones alejan todo intento de ser entendidas y por tanto, admiradas, por el público en general. Claro que si las explicamos usando hormigas, quizá resulten más asimilables. ¿Lo intentamos?... pues vamos allá

Explicar lo que es un campo electromagnético es enormemente complicado: no se ve de qué está hecho, cómo se mueve o cómo las ondas interaccionan entre sí y con la materia. Pero calcular sus propiedades y comportamiento, no es que sea complicado, sino lo siguiente. Cuando Maxwell formuló sus ecuaciones, sólo un puñado de ilustres consiguieron entender la mitad de su teoría. En su origen (año 1855), las ecuaciones de Maxwell eran unas 20 complicadas fórmulas fisicomatemáticas que convertían aquella obra de arte en un galimatías. Fue el matemático Oliver Heaviside quien, después de años de dedicación, consiguió finalmente profundizar en aquellas ecuaciones, resumiéndolas en tan sólo 4 fórmulas, que son las que hoy se estudian en las Universidades.

Empezaremos diciendo que un "campo electromagnético" (EM) es un lugar del espacio donde se desarrollan fenómenos electromagnéticos. ¿Tu habitación está iluminada? Es un campo EM. ¿Hace calor donde estás? Estás en un campo EM.

Siguiendo el ejemplo, podríamos decir que un hormiguero es el lugar del bosque donde viven las hormigas (a veces también en tu cocina). ¿Hay un agujero por donde entran las hormigas? Es un hormiguero. ¿Acabas de ver una fila de hormigas en procesión? Estás en el camino del hormiguero. ¿Ves salir cientos de hormigas por el hueco de tu escalera? Hay un hormiguero.

 

Las ecuaciones de Maxwell nos permiten calcular la intensidad de los fenómenos EM, su posición, trayectoria, los efectos que provocan, su energía, etc... Gracias a estas fórmulas, hoy se puede saber qué potencia desarrolla un motor, qué grosor necesita una resistencia metálica para que se encienda una bombilla o incluso cómo funciona tu cerebro. Y para ello es necesario calcular la relación que existe entre todas las propiedades de los campos EM. Lo primero que hizo Maxwell fue tratar de averiguar dónde y cómo se mueven los campos electromagnéticos, es decir, es necesario averiguar dónde se encuentra el hormiguero. Realmente, si miramos al suelo del bosque y no vemos hormigas, podemos suponer que el hormiguero está muy lejos o simplemente, no existe. Pero cuando vemos a alguna hormiguita solitaria deambulando entre la hojarasca, basta con seguir sus pasos con paciencia, porque ella solita nos llevará hasta las inmediaciones de su casa. El caso más sencillo para localizar el hormiguero, es encontrar un agujerito en el suelo, por donde entren o salgan cientos de hormigas: ahí está lo que buscábamos.

La primera ecuación que sintetizó Maxwell (en realidad no fue él quien lo descubrió realmente) fue la que permitía saber si un agujero en el bosque era o no un hormiguero.

Vamos a comparar el asunto de los campos eléctricos con los hormigueros. Si imaginamos que el agujero del bosque es una carga eléctrica (por ejemplo, un electrón), deberíamos establecer lo siguiente:

1- El hormiguero es una enorme cueva subterránea plagada de pasadizos interiores. Por algunos de esos agujeros salen las hormigas (siempre salen), y por otros solamente entran. Digamos que son sólo agujeros de ENTRADA (los agujeros de color rojo) o de SALIDA (los de color verde). Las hormigas tienen prohibido usar un agujero de salida para entrar, y viceversa.

2- Una vez en el exterior, las hormigas se mueven en hileras: ya tienen establecidos sus corredores, que son los caminitos que han fijado para explorar el bosque.

3- Cuando las hormigas salen de un agujero de SALIDA, recorren el bosque en fila india siguiendo sus caminitos preestablecidos. Estos caminos han sido establecido en función de la dificultad que tienen las hormigas para recorrerlos: si hay obstáculos, charcos o barro, los caminos resultan menos transitables que si están limpios o llanos. Algunas hormigas pueden alejarse mucho por los caminos, otras terminan perdiéndose en la espesura del bosque y otras simplemente, terminan regresando al hormiguero cuando el camino que han tomado acaba en un agujero de ENTRADA.

4- Un agujero es equiparable a una carga eléctrica: Los agujeros por donde salen las hormigas son protones: tienen carga positiva, cuya "fuerza" eléctrica discurre hacia afuera y son de color rojo. Los agujeros de color verde son electrones, tienen carga negativa  y sus líneas de fuerza discurren hacia su interior, porque son como los agujeros de ENTRADA.

Este es el aspecto que tiene nuestro "Campo de Hormigas": Los agujeros de SALIDA son cargas eléctricas (protones de carga positiva, por el que las líneas de fuerza sólo pueden salir). Los agujeros verdes son excusivamente de ENTRADA, y representan a los electrones, de carga negativa, por el que las líneas de fuerza solamente pueden entrar. Las hileras de hormigas son las líneas de fuerza por las que discurren las fuerzas eléctricas: Algunas se pierden en el bosque, otras salen de un agujero o entran en otro, etc...

NOS INTERESA: Hallar una fórmula matemática que nos permita saber si un agujero es o no un hormiguero y de paso, averiguar si los agujeros son de SALIDA (cargas +) o de ENTRADA (cargas -), así que trazaremos las siguientes propiedades:

 

1- Si en un punto dado del campo, todas las hormigas entran y ya no vuelven a salir por él, entonces estamos ante un AGUJERO DE ENTRADA (electrón)

2- Si en algún lugar aparecen constantemente hormigas saliendo de él y no hay ni una sola hormiga que entre, estamos ante un AGUJERO DE SALIDA (protón)

3- Si en algún lugar del campo, entran tantas hormigas como las que salen, estamos ante uno de los caminitos establecidos como corredor: son las líneas de fuerza del campo de hormigas (campo eléctrico)

 

EMPEZAMOS A HACER CÁLCULOS:

LA DIVERGENCIA

Vamos a "inventarnos" un dato de cualquier bosque, al que llamaremos "DIVERGENCIA", , que escribiremos como ÑH. En él apuntaremos la cantidad de hormigas que aparecen en un determinado lugar del bosque, así como la velocidad a la que aparecen (o desaparecen), y lo rápido o lento que caminen. O sea, este dato nos indica la importancia del trasiego de hormigas o lo mucho o poco que nuestras hormigas "perturban" el bosque. Si el valor es muy alto, habrá muchas hormigas o muchos caminitos o se mueven muy rápido. Si el valor es bajo, las hormigas tienen poco protagonismo en los cambios que suceden. Pero además, asignaremos a la DIVERGENCIA, un valor positivo o negativo:

 

Si la divergencia es mayor que 0,  diremos  que  en  ese lugar  hay  hormigas saliendo: ÑH>0 . Si el valor es grande, indica que salen muchas hormigas.

Si la divergencia es menor que cero, diremos que en ese lugar, hay hormigas entrando.  ÑH<0 . Un valor grande y negativo indica que hay muchas hormigas entrando.

Si la divergencia es igual a cero, diremos que en ese punto, tantas hormigas entran como las que salen (sólo es un caminito): ÑH=0 . También es cero cuando no entra ni sale ninguna hormiga. Aunque haya muchas hormigas caminando por la zona que nos interesa, si hay tantas entrando como saliendo, entonces la Divergencia es cero.

 

Como estos tres valores, positivo, negativo o cero, describen excatamente las propiedades de cualquier punto del bosque, podemos afirmar que la DIVERGENCIA nos indicará si cualquier zona es un agujero de entrada al hormiguero, uno de salida, o simplemente, una caminito de hormigas, y si hay muchas o pocas hormigas implicadas.

Aquí abajo vemos dos cuadros con varios ejemplos de "Divergencia".

 

En el cuadro superior hemos marcado dos zonas a estudiar: un rectángulo azul y uno rosa. En ambas zonas, comprobamos que aparecen tantas hormigas entrando como saliendo (las gallinas que entran, por las que salen). Por eso adjudicamos a la Divergencia el valor "cero".

 

En el cuadro inferior, sin embargo, marcamos otras dos zonas: un cuadrado rojo y otro verde. El cuadrado rojo tiene 10 hormigas saliendo (ninguna entra desde el exterior, sino que "aparecen" de un agujero). Por eso le adjudicamos el valor +10. Pero en el cuadrado verde entran 9 hormigas y ninguna regresa de nuevo al bosque (todas se quedan dentro del agujero verde), por lo que le asignamos el valor -9.

LA DENSIDAD DE HORMIGAS

Ahora llamaremos  rh  a la densidad de hormigas que entran o salen de un determinado punto.  Se cuentan las hormigas que salen, se le resta las que entran y el resultado será la densidad de hormigas. Si hay muchas hormigas saliendo, pero pocas entrando, rh  tendrá un valor grande positivo. Si son más las que entran, el valor será negativo. Por ejemplo, comprobamos fácilmente cómo en los alrededores de los agujeros, hay muchas hormigas amontonadas (saliendo o entrando), pero, a medida que nos alejamos de dichos agujeros, la cantidad de hormigas disminuye. Si el número de unas y otras es idéntico, su valor es cero.

LA COMODIDAD DEL CAMINO

Y el último concepto que necesitamos es determinar la COMODIDAD que ofrece el bosque para que las hormigas puedan hacer sus caminos. Para no complicar ésto, asumiremos que el valor de la comodidad del bosque, es una constante.

 

COMODIDAD = e0 

LA FÓRMULA FINAL

Para conocer la DIVERGENCIA de HORMIGAS de un punto cualquiera del bosque, habría que...

1- fijarnos en una zona cualquiera del bosque, y medir la superficie del punto concreto donde vayamos a hacer cálculos, con lo cuál sabremos qué está pasando en un área concreta

2- sentarnos con paciencia y empezar a contar las hormigas que pisan esa área. Contaremos las que salen de la zona y le restaremos las hormigas que entran, porque nos interesa la direferencia entre ambas (la resultante)

3- Dividir el resultado entre el área de control, con lo que obtendremos la "DENSIDAD DE HORMIGAS"

4- Por último, ese resultado habría que dividirlo por la constante de "Comodidad del Bosque", para que los cálculos obtenidos en un bosque de arena, no resulten iguales a los de un bosque de barro o cualquier otro diferente:

Haciendo este recuento, que es bastante sencillo (aunque exija un poco de paciencia) podremos saber que:

* Si el resultado es positivo, estamos cerca de un agujero de salida. Cuanto mayor sea el valor obtenido (más hormigas saliendo), más cerca estaremos del agujero.

* Si es negativo, estamos cerca de un agujero de entrada al hormiguero. Más cerca, cuanto mayor sea el resultado.

* Si entran tantas hormigas como salen, la diferencia entre ambas cifras es cero, y al dividir cero entre la constante del bosque, obtenemos un valor total cer, lo que implica que no hay ningún agujero en las inmediaciones, luego, estamos en medio de un camino de hormigas

Y ahora, una vez obtenido el método para determinar nidos y caminos de hormigas, veamos la primera ecuación de Maxwell para el campo eléctrico:

¿SE PARECE A NUESTRA FÓRMULA DE LAS HORMIGAS?

 

Pues sí, porque:

 

Ñ.E " es la DIVERGENCIA del campo eléctrico. Es la intensidad o fuerza que ejercen las cargas eléctricas que hay en una zona del espacio, según si son positivas (hormigas que salen del agujero) o negativas (hormigas entrando a un agujero). Para calcular esta divergencia de fuerzas y saber exactamente cuál es su valor, hay que dividir entre sí los dos conceptos siguientes: 

 

 "r "  es la Densidad de carga eléctrica: la cantidad cargas eléctricas que se encuentren en una zona concreta, o en una área establecida (hormigas salientes, menos entrantes, por unidad de superficie). Si la carga es positiva, su valor es positivo, mayor que cero y por tanto, indicaría que las líneas de fuerza salen (son positivas).  

e0 es una constante conocida como "Constante eléctrica" o "Permitividad del vacío" e indica la facilidad con la que el vacío puede "polarizarse" en presencia de un campo eléctrico. Es el valor de la "Comodidad" del bosque, o cómo de fácil se pueden hacer caminitos por el suelo. En este caso, el bosque siempre es el mismo: el vacío por el que discurren las fuerzas eléctricas de nuestro campo. Su valor (sin unidades) es 8,85×1012

ASÍ QUE, SI MIRAMOS A PARTIR DE AHORA EL CAMPO ELÉCTRICO COMO SI FUERA UN CAMPO DE HORMIGAS, TAL VEZ COMPRENDAMOS UN POCO MEJOR QUE ÉSTE NO ES OTRA COSA QUE UN BOSQUE PLAGADO DE HORMIGUEROS (CARGAS ELÉCTRICAS) Y CAMINOS DE HORMIGAS (LÍNEAS DE FUERZA). O LO QUE ES IGUAL, UN CAMPO ELÉCTRICO NO ES OTRA COSA QUE UNA ZONA DONDE SE PRODUCE UNA PERTURBACIÓN CAUSADA POR LAS HORMIGAS.

 

Y ADEMÁS, GRACIAS A MAXWELL, ESAS PERTURBACIONES PUEDEN AHORA CALCULARSE

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Comentarios: 8
  • #1

    Juan (martes, 06 enero 2015 23:53)

    Genial explicación. Gracias

  • #2

    Mario Jimenez (lunes, 16 marzo 2015 09:32)

    Quisiera felicitarlo por su texto, comprendi muy bien los conceptos. Me he quedado con ganas de mas.

    Podria contactar con usted sobre estas ecuaciones, si no es molestia? mi email es mariojimenez408(arroba)hotmail(dot)com

    Un saludo

  • #3

    canaldeciencias (lunes, 16 marzo 2015 18:57)

    Gracias, Mario. Dentro de poco seguiré escribiendo sobre este tema. Mi correo está en la página principal de esta web, abajo a la izquierda

  • #4

    Manuel (jueves, 16 abril 2015 01:12)

    Excelente analogía que utilizaré descaradamente para mi clase de nivel secundario. Gracias.(citaré la fuente para que lo lean con detalle)

  • #5

    canal de ciencias (jueves, 16 abril 2015 04:51)

    toda tuya, Manuel. un saludo

  • #6

    Luz (domingo, 28 junio 2015 22:42)

    Brillante, 5 años de universidad, hoy por fin entiendo E.
    Gracias

  • #7

    canal de ciencias (domingo, 28 junio 2015 23:24)

    gracias Luz

  • #8

    Amigo de ciencia (lunes, 17 julio 2017 06:44)

    Estupendo tu explicación me gusto, ayudo mucho comprender las ecuaciones de maxwell. Gracias por tu tiempo.