dom

25

nov

2012

Los "OTROS" Teoremas de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una ley geométrica bien conocida por los escolares de todo el mundo. Dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pero esta particularidad, no sólo se da con los "cuadrados" de los lados, sino con otras muchas figuras.

La ecuación se escribe de la siguiente manera:

De ello se puede deducir que, si dibujásemos un cuadrado cuya base es igual que la hipotenusa, e hiciéramos lo mismo con los dos catetos, la superficie del cuadrado grande sería igual a la suma de las superficies de los otros dos cuadrados:

Esta sencilla ecuación se comprueba fácilmente en el triángulo pitagórico más conocido, que es aquél cuyos catetos e hipotenusa miden 3, 4 y 5, respectivamente. A las tres medidas de los catetos y la hipotenusa cuyas medidas son números enteros (sin decimales) se las conoce como "ternas" pitagóricas.

 

Lo que no resulta tan conocido para la mayoría de la gente es que, no sólo se cumple esta igualdad dibujando cuadrados, sino también con otras figuras geométricas regulares. Por ejemplo, si en vez de cuadrados, dibujásemos círculos sobre los tres lados del triángulo, cuyos diámetros coincidieran con la medida de cada lado, la superficie de dichos círculos cumpliría igualmente con la ecuación de Pitágoras:

Efectivamente, el área del círculo "H" es igual que la suma de las áreas de los círculos "A" y "B". Se puede comprobar fácilmente con el triángulo de hipotenusa 5 y catetos 3 y 4:

 

 

Area del círculo = Π R2

 

 

Radio del círculo "H" = H/2 = 5/2

Radio del círculo "A" = A/2 = 3/2

Radio del círculo "B" = B/2 = 4/2

 

 

Area del círculo "CH" = Π (5/2)2 = 19.625 

Area del círculo "CA" = Π (3/2)2 = 7.065

Area del círculo "CB" = Π (4/2)2 = 12.56

CH = CA + CB

19.625 = 7.065 + 12.56

 

Esta antiquísima ecuación de pitágoras, suele escribirse con la expresión :

 

H2 = Ca2 + Cb2

 

siendo H, la longitud de la Hipotenusa, y Ca y Cb, las longitudes de los dos catetos.

Esta igualdad está íntimamente relacionada con cualquier otra ecuación donde una de las variables elevada a cualquier potencia, es igual a la suma de las potencias de otras dos variables, o lo que es lo mismo:

Zn = Xn + Yn

 

De hecho, el teorema de pitágoras es una forma particular de esta última expresión, en la que simplemente, se llama "Z" a la hipotenusa, "X" e "Y" a los catetos y el número "n" es 2.

 

Exprimiendo esta sencilla ecuación, surgió allá por el siglo XVII, la última "conjetura de Fermat", cuya solución no ha sido completamente resuelta hasta 1995.

Esta conjetura, ideada por el matemático Pierre de Fermat en 1637, dice más o menos que la ecuación sólo se cumple cuando n=2 , es decir, existen múltiples igualdades donde

 

Z2 = X2 + Y2 ,

como por ejemplo, cualquier valor que adquieran los triángulos Pitagóricos:

 

52 = 32 + 42

 

Pero no existe ninguna solución a igualdades donde "n" es mayor que 2, como

 

Z3 = X3 + Y3   o   Z4 = X4 + Y4

 

(siempre que, "n" , X, Y, Z, sean números enteros mayores que cero)

 

Como decíamos, esta conjetura fue intuida por Fermat, pero no pudo ser demostrada definitivamente hasta 1995 por Andrew Wiles, utilizando sofisticados métodos de matemática compleja. Así pues, este interesante teorema tiene una cierta simetría con el teorema de Pitágoras, descubierto siglos antes de nuestra era y en cuyas demostraciones participaron incluso Euclides y el propio Leonardo da Vinci.

 

Además de cumplirse el teorema con cuadrados y círculos, también se cumple con otras muchas figuras geométricas, como un triángulo equilátero:

La demostración con el caso de los triángulos equiláteros es bien sencilla. Conocida la principal igualdad, que dice:

H2 = Ca2 + Cb2

52 = 32 + 42

Tratamos de calcular el área de los triángulos equiláteros que coinciden con la hipotenusa y los catetos:

 

Base de un triángulo equilátero è   L

Altura ("Y") de un triángulo equilátero è   Y = L/2*Ö3

Area de un triángulo equilátero è A = (L2/4)*Ö3

Area de "TH" (triángulo de base = hipotenusa=5) è TH = (52/4)*Ö3

Area de "TA" (triángulo de base = Cateto A=3) è TA = (32/4)*Ö3

Area de "TB" (triángulo de base = Cateto B=4) è TB = (42/4)*Ö3

 

TH = TA + TB

(52/4)*Ö3 = (32/4)*Ö3 + (42/4)*Ö3

(52/4)*Ö3 = Ö3 (32/4 + 42/4)

52/4 = 32/4 + 42/4

52 = 32+ 42

25 =9+16

 

 

Y lo mismo ocurre con otras figuras geométricas, como pentágonos, hexágonos e incluso, estrellas regulares y otras figuras de similares propiedades:

Al final, va a resultar que Pitágoras no era tan "cuadrado"

 

Jon Alvarez. Canaldeciencias.com

 

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Comentarios: 3
  • #1

    leidy (domingo, 10 febrero 2013 01:40)

    muy buen dato como para una carrera :)

  • #2

    canaldeciencias (domingo, 10 febrero 2013 08:38)

    Pero una carrera muy cortita ;)

  • #3

    tag heuer replica sale (martes, 14 abril 2015 06:03)

    Al final, va a resultar que Pitágoras no era tan "cuadrado"